[파이썬(Python)] 백준 17103번 골드바흐 파티션

 

 

 

백준 17103번: 골드바흐 파티션

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📌 문제

골드바흐의 추측: 2보다 큰 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
짝수 N을 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 골드바흐 파티션이라고 한다. 짝수 N이 주어졌을 때, 골드바흐 파티션의 개수를 구해보자. 두 소수의 순서만 다른 것은 같은 파티션이다.

 

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T (1 ≤ T ≤ 100)가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, 정수 N은 짝수이고, 2 < N ≤ 1,000,000을 만족한다.

 

출력

각각의 테스트 케이스마다 골드바흐 파티션의 수를 출력한다.

 

 

 

 

📝 문제 접근 방법

문제 분석

골드바흐의 추측에 따르면 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다고 합니다. 이 문제에서는 주어진 짝수 $N$에 대해 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는 골드바흐 파티션의 개수를 구해야 합니다.

 

 

아이디어

골드바흐 파티션을 계산하기 위해 먼저 소수를 효율적으로 판별할 수 있는 방법이 필요합니다. 주어진 $N$의 범위가 최대 1,000,000까지이기 때문에 각 숫자가 소수인지 빠르게 확인할 수 있어야 여러 테스트 케이스를 효율적으로 처리할 수 있습니다. 이를 위해 에라토스테네스의 체를 사용합니다. 



먼저 에라토스테네스의 체를 이용해 $1,000,000$까지의 소수를 구하고 이를 배열로 저장합니다. 이렇게 생성된 배열에서 각 인덱스는 해당 숫자가 소수인지 아닌지를 나타냅니다. 



다음으로 주어진 $N$에 대해 두 소수의 합으로 표현할 수 있는 경우를 찾습니다. 이를 위해 $2$부터 $N/2$까지의 숫자를 순회하며 각 숫자를 소수 $p_1$으로 선택하고 $p_2 = N - p_1$이 소수인지 확인합니다. 만약 $p_1$과 $p_2$가 모두 소수라면 이는 유효한 골드바흐 파티션이므로 카운트를 증가시킵니다. $N/2$까지만 순회하는 이유는 두 숫자의 순서만 다른 경우를 중복 계산하지 않기 위해서입니다.



이 과정을 모든 테스트 케이스에 대해 반복하며 각각의 결과를 출력합니다.

 

 

 

 

👩‍💻 나의 답안

import math

def sieve_of_eratosthenes(max_num):
    is_prime = [True] * (max_num + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False  # 0과 1은 소수가 아니므로 False로 설정
    
    for i in range(2, int(math.sqrt(max_num)) + 1):
        if is_prime[i]:  # i가 소수인 경우
            # i의 배수들은 소수가 아니므로 False로 설정
            for j in range(i * i, max_num + 1, i):
                is_prime[j] = False

    return is_prime

MAX_NUM = 1000000 

prime_list = sieve_of_eratosthenes(MAX_NUM)

t = int(input())
for _ in range(t):
    n = int(input()) 

    result = 0
    # 2부터 N/2까지 반복하며 첫 번째 소수 a를 선택
    for a in range(2, n // 2 + 1):
        # a와 (n-a)가 모두 소수라면 골드바흐 파티션 성립
        if prime_list[a] and prime_list[n - a]:
            result += 1  # 파티션 개수 증가

    print(result)