오늘은 스타트링크에 다니는 사람들이 모여서 축구를 해보려고 한다. 축구는 평일 오후에 하고 의무 참석도 아니다. 축구를 하기 위해 모인 사람은 총 N명이고 신기하게도 N은 짝수이다. 이제 N/2명으로 이루어진 스타트 팀과 링크 팀으로 사람들을 나눠야 한다.
BOJ를 운영하는 회사 답게 사람에게 번호를 1부터 N까지로 배정했고, 아래와 같은 능력치를 조사했다. 능력치 $S_{ij}$는 i번 사람과 j번 사람이 같은 팀에 속했을 때, 팀에 더해지는 능력치이다. 팀의 능력치는 팀에 속한 모든 쌍의 능력치 Sij의 합이다. $S_{ij}$는 $S_{ji}$와 다를 수도 있으며, i번 사람과 j번 사람이 같은 팀에 속했을 때, 팀에 더해지는 능력치는 $S_{ij}$와 $S_{ji}$이다.
N=4이고, S가 아래와 같은 경우를 살펴보자. 예를 들어, 1, 2번이 스타트 팀, 3, 4번이 링크 팀에 속한 경우에 두 팀의 능력치는 아래와 같다.
축구를 재미있게 하기 위해서 스타트 팀의 능력치와 링크 팀의 능력치의 차이를 최소로 하려고 한다. 위의 예제와 같은 경우에는 1, 4번이 스타트 팀, 2, 3번 팀이 링크 팀에 속하면 스타트 팀의 능력치는 6, 링크 팀의 능력치는 6이 되어서 차이가 0이 되고 이 값이 최소이다.
입력
첫째 줄에 N(4 ≤ N ≤ 20, N은 짝수)이 주어진다. 둘째 줄부터 N개의 줄에 S가 주어진다. 각 줄은 N개의 수로 이루어져 있고, i번 줄의 j번째 수는 $S_{ij}$ 이다. $S_{ii}$는 항상 0이고, 나머지 $S_{ij}$는 1보다 크거나 같고, 100보다 작거나 같은 정수이다.
출력
첫째 줄에 스타트 팀과 링크 팀의 능력치의 차이의 최솟값을 출력한다.
📝 문제 분석
이 문제는 N명의 사람을 두 팀으로 나누는 조합 문제이며 각 팀의 능력치 차이를 최소화하는 것이 목표입니다.
✅ 조건
N은 짝수(4 ≤ N ≤ 20)이며 두 팀은 정확히 N/2명으로 구성됩니다.
능력치는 i번 사람과 j번 사람이 같은 팀일 때 S[i][j] + S[j][i]의 합으로 결정됩니다.
두 팀의 능력치 차이를 최소화하는 팀 구성을 찾아야 합니다.
💡 해결 방법
1️⃣ Step 1: 백트래킹을 활용하여 팀 나누기
✅ 팀을 나누는 방법
총 N명의 사람 중 N/2명을 한 팀(스타트 팀)으로 선택하면 나머지 사람들은 자동으로 링크 팀이 됩니다.
예를 들어, N = 4인 경우 가능한 팀 구성은 다음과 같습니다.
(1,2) vs (3,4)
(1,3) vs (2,4)
(1,4) vs (2,3)
가능한 모든 팀 조합을 탐색해야 합니다.
2️⃣ Step 2: 능력치 계산
팀이 정해지면 각 팀원의 능력치를 계산해야 합니다.
✅ 능력치 계산 방법
특정 두 명(i, j)이 같은 팀일 경우 능력치는 S[i][j] + S[j][i] 입니다.
팀원의 모든 조합에 대해 능력치를 합산해야 합니다.
✅ 예제 1: N = 4
1 2 3 4
1 0 1 2 3
2 4 0 5 6
3 7 1 0 2
4 3 4 5 0
스타트 팀이 (1, 2) 인 경우
스타트 팀 점수 = S[1][2] + S[2][1] = 1 + 4 = 5
링크 팀이 자동으로 (3, 4)로 정해짐
링크 팀 점수 = S[3][4] + S[4][3] = 2 + 5 = 7
두 팀의 능력치 차이
두 팀의 능력치 차이 = |5 - 7| = 2
3️⃣ Step 3: 최소 능력치 차이 찾기
이제 DFS를 사용하여 모든 경우를 탐색하며 최소 능력치 차이를 찾습니다.
✅ DFS 과정
한 명씩 스타트 팀에 추가하면서 팀 조합을 생성합니다.
스타트 팀이 N/2명이 되면 자동으로 링크 팀도 결정되므로 각 팀의 능력치를 계산합니다.
|스타트 팀 점수 - 링크 팀 점수|가 최소가 되는 경우를 찾아 min_diff를 갱신합니다.
✅ 가지치기 최적화
DFS 탐색을 할 때 불필요한 경우를 미리 제외하여 탐색 속도를 최적화해야 합니다. 이를 위해 다음과 같이 가지치기(Pruning) 기법을 활용할 수 있습니다.
1. 능력치 차이가 0이면 즉시 종료
두 팀의 능력치 차이가 0이면 더 이상 탐색할 필요 없이 sys.exit(0)을 호출하여 프로그램을 종료합니다.
능력치 차이가 0이면 가장 이상적인 팀 구성이므로 추가적인 탐색을 해도 더 나은 결과를 찾을 수 없습니다.
if diff == 0:
print(0)
sys.exit(0)
2. 첫 번째 사람을 무조건 스타트 팀에 포함
중복 탐색을 줄이기 위해 첫 번째 사람을 무조건 스타트 팀에 포함합니다.
selected[0] = True
dfs(1, 1)
예를 들어 N = 4일 때
(1, 2)와 (3, 4)가 한 팀이 되는 경우와 (3, 4)와 (1, 2)가 한 팀이 되는 경우는 같은 조합입니다.
탐색 순서
스타트 팀
링크 팀
결과
1
(1, 2)
(3, 4)
✅
2
(1, 3)
(2, 4)
✅
3
(1, 4)
(2, 3)
✅
4
(2, 3)
(1, 4)
⛔ 중복 (1, 4) vs (2, 3)
5
(2, 4)
(1, 3)
⛔ 중복 (1, 3) vs (2, 4)
6
(3, 4)
(1, 2)
⛔ 중복 (1, 2) vs (3, 4)
3. 스타트 팀이 N/2명 채워지면 링크 팀으로 자동으로 결정되므로 탐색 종료
N명 중에서 N/2명을 선택하면 나머지 인원은 자동으로 링크 팀이 되므로 더 이상 탐색할 필요가 없습니다.
👩💻 나의 답안
import sys
def dfs(idx, count):
global min_diff
if count == N // 2:
start_team = [i for i in range(N) if selected[i]]
link_team = [i for i in range(N) if not selected[i]]
start_score, link_score = 0, 0
for i in range(N // 2):
for j in range(i + 1, N // 2):
start_score += S[start_team[i]][start_team[j]] + S[start_team[j]][start_team[i]]
link_score += S[link_team[i]][link_team[j]] + S[link_team[j]][link_team[i]]
diff = abs(start_score - link_score)
if diff == 0:
print(0)
sys.exit(0)
min_diff = min(min_diff, diff)
return
for i in range(idx, N):
if not selected[i]:
selected[i] = True
dfs(i + 1, count + 1)
selected[i] = False
N = int(input())
S = [list(map(int, input().split())) for _ in range(N)]
min_diff = sys.maxsize
selected = [False] * N
selected[0] = True
dfs(1, 1)
print(min_diff)
