메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법으로, 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 합니다.
동적(Dynamic)의 의미
자료구조에서의 동적 할당(Dynamic Allocation)은 프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법을 의미합니다.
다이나믹 프로그래밍에서의 다이나믹은 별다른 의미 없이 사용된 단어입니다.
✨ 조건
최적 부분 구조 (Optimal Substructure): 큰 문제를 작은 문제들로 나눌 수 있으며, 작은 문제들의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있습니다.
중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem): 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 합니다.
✨ 피보나치 수열
점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미하는데, 피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같습니다. → $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, a_1 = 1, a_2 = 1$
프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현합니다.
$n$ 번째 피보나치 수를 $f(n)$ 라고 할 때, 4번째 피보나치 수 $f(4)$ 를 구하는 과정은 다음과 같습니다.
✨ 단순 재귀함수로 구현
# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
if x == 1 or x == 2:
return 1
return fibo(x-1) + fibo(x - 2)
print(fibo(4)) # 3
시간 복잡도 분석: $O(2^N)$ 으로, $f(30)$ 을 계산하기 위해 약 10억 가량의 연산을 수행해야 합니다.
아래 그림과 같이 $f(2)$ 가 여러 번 호출되는 것을 확인할 수 있습니다. (중복되는 부분 문제)
✨ 다이나믹 프로그래밍으로 구현
다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족하는지 확인합니다.
1. 최적 부분 구조: 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있습니다. 2. 중복되는 부분 문제: 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결합니다.
⭐ 메모이제이션 (Memoization)
한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법
탑다운(Top-Down, 하향식) 방식
같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져옵니다.
값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 합니다.
넓은 의미로는 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 것입니다.
# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100
# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
# 종료 조건 (1 혹은 2일 때 1을 반환)
if x == 1 or x == 2:
return 1
# 이미 계산한 적이 있는 문제라면 그대로 반환
if d[x] != 0:
return d[x]
# 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
return d[x]
print(fibo(99)) # 218922995834555169026
동작 분석
이미 계산된 결과를 메모리에 저장하면 첫 번째 그림과 같이 색칠된 노드만 처리할 것을 기대할 수 있습니다.
실제로 호출되는 함수에 대해서만 확인해 보면 두 번째 그림과 같이 방문합니다.
따라서 시간 복잡도는 $O(N)$ 입니다.
⭐ 보텀업 (Bottom-Up, 하향식) 방식
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99
# 피보나치 함수를 반복문으로 구현 (보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
print(d[n]) # 218922995834555169026
✨ 다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복
다아나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있습니다.
큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황에 적용할 수 있습니다.
다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복입니다.
다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복됩니다.
분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않습니다.
✨ 다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법
주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요합니다.
가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토할 수 있습니다. 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않는다면 다이나믹 프로그래밍을 고려해 봅시다.
일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법으로 사용될 수 있습니다.
2. 문제
✨ 개미 전사
개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 합니다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있습니다.
각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정입니다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있습니다.
따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 합니다.
개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하세요.
아이디어
$N = 4$ 일 때, 식량을 선택할 수 있는 경우의 수는 첫 번째 그림과 같습니다.
$a_i$ 는 $i$ 번째 식량창고까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 식량의 최댓값)이라고 하면, 두 번째 그림과 같이 나타낼 수 있습니다.
왼쪽부터 차례대로 식량창고를 턴다고 했을 때, 특정한 $i$ 번째 식량창고에 대해서 털지 안 털지의 여부를 결정하면, 아래 2가지 경우 중에서 더 많은 식량을 털 수 있는 경우를 선택하면 됩니다.
아래와 같이 점화식으로 표현할 수 있습니다.
$a_i = \max(a_{i-1}, a_{i-2} + k_i)$
$a_i$ 는 $i$ 번째 식량창고까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 식량의 최댓값)
$k_i$ 는 $i$ 번째 식량창고에 있는 식량의 양
한 칸 이상 떨어진 식량창고는 항상 털 수 있으므로 $(i - 3)$ 번째 이하는 고려할 필요가 없습니다.
답안
# 정수 N을 입력 받기
n = int(input())
# 모든 식량 정보 입력 받기
k = list(map(int, input().split()))
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
d[0] = k[0]
d[1] = max(k[0], k[1])
for i in range(2, n):
d[i] = max(d[i-1], d[i - 2] + k[i])
# 계산된 결과 출력
print(d[n - 1])
✨ 1로 만들기
정수 X가 주어졌을 때, 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지입니다. 1. X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눕니다. 2. X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눕니다. 3. X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눕니다. 4. X에서 1을 뺍니다.
정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 값을 1로 만들고자 합니다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하세요.
예를 들어 정수가 26이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산이 최솟값입니다. 26 → 25 → 5 → 1
아이디어
함수가 호출되는 과정을 그림으로 그려보면 다음과 같습니다.
$X$ 가 6일 때는 1을 뺐을 때의 최적의 해 $f(5)$ , 2로 나누었을 때의 최적의 해 $f(3)$ , 3으로 나누었을 때의 최적의 해 $f(2)$ 중에서 가장 작은 값을 가지는 경우를 골라서 최적의 해를 구할 수 있습니다.
단, 1을 빼는 연산을 제외하고는 해당 수로 나누어 떨어질 때에 한해 점화식을 적용할 수 있습니다.
답안
# 정수 X를 입력 받기
x = int(input())
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001
# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
for i in range(2, x + 1):
# 현재의 수에서 1을 빼는 경우
d[i] = d[i - 1] + 1
# 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
if i % 2 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i // 2] + 1)
# 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
if i % 3 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i // 3] + 1)
# 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
if i % 5 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i // 5] + 1)
print(d[x])
✨ 효율적인 화폐 구성
N가지 종류의 화폐가 있습니다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 합니다. 이때 각 종류의 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있습니다.
예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수입니다.
M원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수를 출력하는 프로그램을 작성하세요.
아이디어
각 화폐 단위인 k를 하나씩 확인하며
$a_{i - k}$ 를 만드는 방법이 존재하는 경우, $a_i = \min( a_i, a_{i - k} + 1)$
$a_{i - k} $ 를 만드는 방법이 존재하지 않는 경우, $a_i = \text{INF}$
$a_i$ 는 금액 $i$ 를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수
$k$ 는 각 화폐의 단위
$\text{INF}$ 는 특정 금액을 만들 수 있는 화폐 구성이 가능하지 않다는 의미를 가집니다.
답안
# 정수 N, M을 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# N개의 화폐 단위 정보를 입력 받기
array = [int(input()) for _ in range(n)]
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [m + 1] * (m + 1)
# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n):
for j in range(array[i], m + 1):
if d[j - array[i]] != (m + 1): # (i - k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
d[j] = min(d[j], d[j - array[i]] + 1)
# 계산된 결과 출력
if d[m] == m + 1: # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
print(-1)
else:
print(d[m])
✨ 금광
n x m 크기의 금광이 있습니다. 금광은 1 x 1 크기의 칸으로 나누어져 있으며, 각 칸은 특정한 크기의 금이 들어 있습니다.
채굴자는 첫 번째 열부터 출발하여 금을 캐기 시작합니다. 맨 처음에는 첫 번째 열의 어느 행에서든 출발할 수 있습니다. 이후에 m - 1 번에 걸쳐서 매번 오른쪽 위, 오른쪽, 오른쪽 아래 3가지 중 하나의 위치로 이동해야 합니다. 결과적으로 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 출력하는 프로그램을 작성하세요.
아이디어: 금광의 모든 위치에 대하여 다음의 세 가지 경우 중에서 가장 많은 금을 가지고 있는 경우에 대해 테이블을 갱신하여 문제를 해결합니다.
# 테스트 케이스 입력
for _ in range(int(input())):
# 금광 정보 입력
n, m = map(int, input().split())
array = list(map(int, input().split()))
# 다이나믹 프로그래밍을 위한 2차원 DP 테이블 초기화
dp = [array[i:i+m] for i in range(0, n*m, m)]
# 다이나믹 프로그래밍 진행
for j in range(1, m):
for i in range(n):
# 왼쪽 위에서 오는 경우
if i == 0:
left_up = 0
else:
left_up = dp[i - 1][j - 1]
# 왼쪽 아래에서 오는 경우
if i == n - 1:
left_down = 0
else:
left_down = dp[i + 1][j - 1]
# 왼쪽에서 오는 경우
left = dp[i][j - 1]
# DP 테이블 업데이트
dp[i][j] = dp[i][j] + max(left_up, left_down, left)
result = 0
for i in range(n):
result = max(result, dp[i][m - 1])
print(result)
✨ 병사 배치하기
N명의 병사가 무작위로 나열되어 있습니다. 각 변사는 특정한 값의 전투력을 보유하고 있습니다.
병사를 배치할 때는 전투력이 높은 병사가 앞쪽에 오도록 내림차순으로 배치를 하고자 합니다. 다시 말해, 앞쪽에 있는 병사의 전투력이 항상 뒤쪽에 있는 병사보다 높아야 합니다.
또한 배치 과정에서는 특정한 위치에 있는 병사를 열외시키는 방법을 이용합니다. 그러면서도 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하고 싶습니다.
아이디어: 가장 긴 증가하는 부분 수열(Longest Increasing Subsequence, LIS)로 알려진 전형적인 다이나믹 프로그래밍 문제의 아이디어와 같습니다. → 가장 긴 감소하는 부분 수열을 찾는 문제로 치환할 수 있습니다.
가장 긴 증가하는 부분 수열 (LIS) 알고리즘
모든 $0 \leq j \leq i$ 에 대하여, $D[i] = \max(D[i], D[j + 1])$ if array[j] < array[i]
$D[i]$ 는 array[i]를 마지막 원소로 가지는 부분 수열의 최대 길이
가장 먼저 입력 받은 병사 정보의 순서를 뒤집어 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘을 수행하여 정답을 도출합니다.
답안
n = int(input())
array = list(map(int, input().split()))
# 순서를 뒤집어 '최장 증가 부분 수열' 문제로 변환
array.reverse()
# 다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 DP 테이블 초기화
dp = [1] * n
# 가장 긴 증가하는 부분 수열 알고리즘 수행
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if array[j] < array[i]:
dp[i] = max(array[i], array[j] + 1)
# 열외해야 하는 병사의 최소 수를 출력
print(n - max(dp))
